Question

向量

a

，

b

，

c

，

d

滿足：|

a

|=1，|

b

|=

2

，

b

在

a

上的投影為

1

2

，（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，|

d

-

c

|=1，則|

c

|+|

d

|的最大值是

3+

2

．

Answer 1

分析：不妨設向量

a

，

b

，

c

，

d

有相同的起點O，終點分別為A，B，C，D，然后根據條件可得C在以AB為直徑的圓上，當向量

c

過AB中點時，其模最大，可求出|

c

|的最大值，根據|

d

-

c

|=1，D在以C為圓心，1為半徑的圓上，當C，D共線時|

d

|最大，從而求出所求．

解答：解：不妨設向量

a

，

b

，

c

，

d

有相同的起點O，終點分別為A，B，C，D．
∵

b

在

a

上的投影為

1

2

，
∴

a • b

| a |

=

a

•

b

=

1

2

，
∵（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，
∴

CA

•

CB

=0，
即C在以AB為直徑的圓上． 
∴當向量

c

過AB中點時，其模最大，
此時：|

c

|=

1

2

|

a

+

b

|+

2

2

=1+

2

2

，
∵|

d

-

c

|=1，
∴D在以C為圓心，1為半徑的圓上，
∴當C，D共線時|

d

|最大，
故|

c

|+|

d

|的最大值=2|

c

|_max+1=3+

2

．
故答案為：3+

2

．

點評：本題主要考查了平面向量的數量積的運算，以及幾何意義，解題的關鍵根據題意作出圖形，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．