Question

在三棱錐P-ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最長(zhǎng)的邊．三棱錐P-ABC的三視圖如圖1所示，其中側(cè)視圖和俯視圖均為直角三角形．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中，用斜二測(cè)畫法，把三棱錐P-ABC的直觀圖補(bǔ)充完整（其中點(diǎn)P在xOz平面內(nèi)），并指出三棱錐P-ABC的哪些面是直角三角形；
（2）求二面角B-PA-C的正切值；
（3）求點(diǎn)C到面PAB的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件能用出三棱錐P-ABC直觀圖，由三視圖知△ABC和△PCA是直角三角形．
（2）過P作PH⊥BC交BC于點(diǎn)H，由三視圖知△PBC為等腰三角形，取PC的中點(diǎn)E，過E作EF⊥PA且交PA于點(diǎn)F，連接BE，BF，∠BFE是二面角B-PA-C的平面角，由此能求出二面角B-PA-C的正切值．
（3）記C到面PAB的距離為h，由V_P-ABC=V_C-PAB，能求出C到面PAB的距離．

解答： 解：（1）三棱錐P-ABC直觀圖如圖1所示；
由三視圖知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分）
（2）如圖2，過P作PH⊥BC交BC于點(diǎn)H，
由三視圖知△PBC為等腰三角形，
∵BC=4，PH=2

3

，∴PB=PC=BC=4，
取PC的中點(diǎn)E，過E作EF⊥PA且交PA
于點(diǎn)F，連接BE，BF，
因?yàn)锽E⊥PC，由三視圖知AC⊥面PBC，
且BE?面PBC，∴AC⊥BE，
又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC，
由PA?面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF，
由BF?面BEF，∴PA⊥BF，
所以∠BFE是二面角B-PA-C的平面角．…（6分）
∵△PEF∽△PAC，∴

PE

PA

=

EF

AC

，
∵PE=2， AC=4， PA=4

2

，∴EF=

2

，…（8分），∴在直角△CFE中，有tan∠BFE=

BE

EF

=

6

．
所以，二面角B-PA-C的正切值為

6

． …（9分）
（3）記C到面PAB的距離為h，
由（1）、（2）知PA=AB=4

2

，  PB=4，∴S△PAB=4

7

，
PB=4，V_C-PAB=

1

3

S△PAB•h=

4 7

3

，…（12分）
三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=

1

3

S△ABC•PH=

16 3

3

，…（13分）
由V_P-ABC=V_C-PAB，得C到面PAB的距離h=

4 21

7

．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，三視圖及幾何體的直觀圖，二面角，三棱錐的體積，空間坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．