已知函數(shù)f(x)=2+lnx-1.

（1）試證明x0∈(1,2)，使得f(x0)=0;

（2）已知不等式f(x)-m≤0,對x∈(0,e］（e=2.718…）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）求證：在區(qū)間(1,+∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.

(1)證明：∵f(1)=-1=＜0，f(2)=1+ln2＞0,

∴f(1)·f(2)＜0且函數(shù)f(x)在（1,2）上連續(xù).

∴函數(shù)f(x)在（1,2）上有零點，即x0∈(1,2)，使得f(x0)=0.

（2）解:f′(x)=x+,

當(dāng)x∈(0,e］時，f′(x)＞0,

∴函數(shù)f(x)在(0,e］上為增函數(shù).

∴f(x)max=f(e)=e2.

不等式f(x)-m≤0,對x∈(0,e］恒成立等價于m≥f(x)max，x∈(0,e］.

∴m≥e2.

（3）證明：令F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-1x3,

則F′(x)=x+-2x2==.

∵當(dāng)x＞1時F′(x)＜0，

∴函數(shù)F(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù).

∴F(x)＜F(1)=-1＜0,

即在(1,+∞)上，f(x)＜g(x).

∴在區(qū)間(1,+∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案