Question

當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時，函數(shù)f（x）=cos2x+asinx的最大值為3，則a=

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：首先把函數(shù)f（x）=cos2x+asinx通過三角恒等變換轉(zhuǎn)化成以sinx為變量的二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即f（x）=-2（sinx-

a

4

）²+

a2

8

+1，然后對a進(jìn)行討論①a＞0②a＜0其中對①a＞0又分三種情況，即x=

a

4

與sinx（x∈[

π

6

，

π

2

]）的關(guān)系進(jìn)行單調(diào)性的探討，通過具體的分析最后求得a值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cos2x+asinx=-2（sinx-

a

4

）²+

a2

8

+1
所以函數(shù)f（x）是以x=

a

4

為對稱軸開口方向向下的拋物線．
（1）當(dāng)a＜0時對稱軸x=

a

4

在y軸的左側(cè)，由于當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]，
根據(jù)函數(shù)sinx的單調(diào)性，當(dāng)x=

π

6

時，函數(shù)f（x）取得最大值，令f（

π

6

）=3 求得a=5與a＜0矛盾，故舍去．
（2）當(dāng)a＞0時分以下三種情況進(jìn)行分析：
①當(dāng)

1

2

＜

a

4

＜1 時，即2＜a＜4，f（

a

4

）取得最大值為3，令f（

a

4

）=3  求得a=4 與2＜a＜4矛盾故舍去．
②當(dāng)

a

4

≤

1

2

時，即a≤2，f（

π

6

）取得最大值3，令f（

π

6

）=3 求得a=5與a≤2矛盾故舍去．
③當(dāng)

a

4

≥1時，即a≥4，f（

π

2

）取得最大值3，令 f（

π

2

）=3 求得a=4符合題意．
由（1）（2）得a=4
故答案為：4

點評：本題考查的知識點：三角函數(shù)的變換，二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，以及對稱軸和sinx（x∈[

π

6

，

π

2

]）的關(guān)系，重在對參數(shù)a進(jìn)行分類討論．