(本小題滿分12分)如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,PO⊥平面ABCD,PB與平面ABCD所成角為60°.
(1)求四棱錐的體積;
(2)若E是PB的中點(diǎn),求異面直線DE與PA所成角的余弦值.
(1)VP—ABCD=×2×=2. (2)異面直線DE與PA所成角的余弦值為.
【解析】本試題主要是考查了四棱錐的體積和異面直線的所成的角的求解問題。
(1)底面是菱形,根據(jù)錐體的體積公式得到高度和底面積,得到求解。
(2))取AB的中點(diǎn)F,連接EF,DF,
∵E為PB中點(diǎn),∴EF∥PA,
∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)然后借助于解三角形得到結(jié)論。
解 (1)在四棱錐P—ABCD中,
∵PO⊥平面ABCD,
∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,
即∠PBO=60°, ……1分
在Rt△POB中,
∵BO=AB·sin30°=1,
又PO⊥OB,∴PO=BO·tan60°=, ………2分
∵底面菱形的面積S=2××2×2×=2.………3分
∴四棱錐P—ABCD的體積
VP—ABCD=×2×=2. 5分
(2)取AB的中點(diǎn)F,連接EF,DF,
∵E為PB中點(diǎn),∴EF∥PA,
∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角). ………7分
在Rt△AOB中,
AO=AB·cos30°==OP,
∴在Rt△POA中,PA=6,∴EF=.………9分
在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE=,
由余弦定理得
∴cos∠DEF=
===.………11分
所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為. 12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長,某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類,這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).求:
(I)他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù),并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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