Question

如圖，設點P(m，n)是圓C1：x2+(y+1)2=

3

4

上的動點，過點P作拋物線C2：x2=ty(t＞0)的兩條切線，切點分別是A、B．已知圓C₁的圓心M在拋物線C₂的準線上．
（I）求t的值；
（Ⅱ）求

PA

•

PB

的最小值，以及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先分別求出圓心坐標和拋物線的準線方程，進而即可得出；
（Ⅱ）設出切線的方程，并與拋物線的方程聯立，由相切可得△=0，利用根與系數的關系及數量積即可得出

PA

•

PB

，再利用點P在圓上及函數的導數即可求出最小值．

解答：解：（Ⅰ）圓C₁的圓心M（0，-1），拋物線C₂的準線為y=-

t

4

，
∵圓C₁的圓心M在拋物線C₂的準線上，∴-

t

4

=-1，解得t=4．
∴t的值為4．
（Ⅱ）由題意可知：切線PA、PB的斜率都存在，分別為k₁，k₂，切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設過點P的拋物線的切線l：y=k（x-m）+n，代入x²=4y，
可得x²-4kx+（4km-4n）=0（*）
∵直線l與拋物線相切，∴△=16k²-4×（4km-4n）=0，化為k²-km+n=0．
∴k₁+k₂=m，k₁k₂=n．（**）
此時，x₁=2k₁，y1=

x12

4

=k12；同理，x₂=2k₂，y2=k22．
∴

PA

•

PB

=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
=(2k1-m)(2k2-m)+(k12-n)(k22-n)
=4k₁k₂-2m（k₁+k₂）+m2+(k1k2)2-n[(k1+k2)2-2k1k2]+n2
=4n-2m²+m²+n²-n（m²-2n）+n²
=4n²+4n-m²（1+n）．
∵點P（m，n）在圓C₁上，∴m2+(n+1)2=

3

4

，∴m2=

3

4

-(n+1)2，代入上式可得

PA

•

PB

=n3+7n2+

25

4

n+

1

4

，
考查函數f（n）=n3+7n2+

25

4

n+

1

4

(-1-

3

2

≤n≤-1+

3

2

)．
求得f^′（n）=3n2+14n+

25

4

=

1

4

(2n+1)(6n+25)，
令f^′（n）=0，解得n=-

1

2

或-

25

6

．
當n∈(-1-

3

2

，-

1

2

)時，f^′（n）＜0，f（n）單調遞減；
當n∈(-

1

2

，-1+

3

2

)時，f^′（n）＞0，f（n）單調遞增．
∴當n=-

1

2

時，f（n）取得最小值f(-

1

2

)=-

5

4

．
此時對應的點P(±

2

2

，-

1

2

)．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義與性質、直線與圓錐曲線相切問題的解決模式、根與系數的關系、利用導數求函數的最值等是解題的關鍵．