Question

5．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以原點O為起點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知點P的極坐標為（2，-$\frac{π}{3}$），直線l的極坐  標方程為ρcos（$\frac{π}{3}$+θ）=6．
（Ⅰ）求點P到直線l的距離；
（Ⅱ）設點Q在曲線C上，求點Q到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把點P與直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，再利用點到直線的距離公式即可得出．
（Ⅱ）可以判斷，直線l與曲線C無公共點，設$Q（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，利用點到直線的距離公式及其三角函數(shù)的和差公式及其單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點$P（{2，-\frac{π}{3}}）$的直角坐標為$（2cos（-\frac{π}{3}），2sin（-\frac{π}{3}））$，即$（{1，-\sqrt{3}}）$．
由直線l $ρcos（{\frac{π}{3}+θ}）=6$，得$\frac{1}{2}ρ（{cosθ-\sqrt{3}sinθ}）=6$．
則l的直角坐標方程為：$x-\sqrt{3}y-12=0$，
點P到l的距離$d=\frac{{|{1+3-12}|}}{2}=4$．
（Ⅱ）可以判斷，直線l與曲線C無公共點，
設$Q（3\sqrt{3}cosθ，\sqrt{3}sinθ）$，
則點Q到直線$x-\sqrt{3}y-12=0$的距離為$d=\frac{{|{3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12}|}}{2}=\frac{{|{6cos（{θ+\frac{π}{6}}）-12}|}}{2}$，
∴當$cos（{θ+\frac{π}{6}}）=-1$時，d_max=9．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的和差公式及其單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．