Question

【題目】已知極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，極軸與軸非負(fù)半軸重合，是曲線上任一點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.

（1）求曲線的平面直角坐標(biāo)方程；

（2）將曲線向右平移個(gè)單位后得到曲線，設(shè)曲線與直線（為參數(shù)）相交于、兩點(diǎn)，記點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，可得出點(diǎn)的極坐標(biāo)為，將點(diǎn)的極坐標(biāo)代入曲線的極坐標(biāo)方程，可得出曲線的極坐標(biāo)方程，再將此極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）根據(jù)平移規(guī)律得出曲線的直角坐標(biāo)方程，然后將直線的參數(shù)方程化為（為參數(shù)），并將該參數(shù)方程與曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用韋達(dá)定理可計(jì)算出的值.

（1）設(shè)，由可知點(diǎn)，那么.

將代入曲線，得，

則曲線的極坐標(biāo)方程為化為直角坐標(biāo)方程，即得為所求；

（2）將曲線向右平移個(gè)單位后，得到曲線的方程為.

將直線的參數(shù)方程化為（為參數(shù)），

代入曲線的方程，整理得到，

記交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，那么，.

那么，為所求.