Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，設(shè)bn=

1

nan

，則使b1+b2+…+bn＜

99

100

成立的最大n值為（　�。�

• A、97
• B、98
• C、99
• D、100

Answer 1

分析：先由等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，設(shè)求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)及公差，進(jìn)而求出其通項(xiàng)，再代入求出新數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和法求出新數(shù)列的和，再解不等式即可求出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閍₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以：a₁+3d＞3，3a₂≤9?d＞

2

3

，a₁+d≤3?a₁≤3-d＜3-

2

3

=

7

3

=2

1

3

．
∵等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁及公差d都是整數(shù)
∴a₁=2；?

1

3

＜d≤1?d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

即

n

n+1

＜

99

100

?n＜99．故滿足條件的最大n值為98．
故選B．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵在于利用已知條件求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)及公差，進(jìn)而求出其通項(xiàng)．