Question

如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0），M是線段EF的中點．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）若二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值；
（3）令a=1，設點P為一動點，若點P從M出發(fā)，沿棱按照M→E→C的路線運動到點C，求這一過程中形成的三棱錐P-BFD的體積的最小值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出

CA

•

BF

=0，即可證明AC⊥BF；
（2）求出平面ABD的法向量

n

，平面FBD的法向量

m

，利用|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

1•| m |

及二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值；
（3）解1a=1，設AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，當P點在M或C時，直接求出三棱錐P-BFD的體積的最�。�
解2，求出平面FBD的法向量

m

，利用公式點C到平面FBD的距離d=

| CO • m |

m

，求解即可．

解答：解：建立空間坐標系，

（1）C(0，0，0)，D(1，0，0)，A(0，

3

，0)，F(0，

3

，a)，B(-1，

3

，0)

CA

=(0，

3

，0)，

BF

=(1，0，a)，

DF

=(-1，

3

，a)

CA

•

BF

=0，
所以AC⊥BF．（5分）

（2）平面ABD的法向量

n

=(0，0，1)，
平面FBD的法向量

m

=(x，y，z)

DF • m =0 BF • m =0

，

m

=(-a，-

2a

3

，1)
|cos＜

m

，

n

＞|=

m • n

1•| m |

=

1

2

，a2=

9

7

，a=

3 7

7

(10分)
（3）解1設AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
當P點在M或C時，三棱錐P-BFD的體積的最小．
(VP-BFD)min=VC-BFD=VF-BCD=

1

3

×

1

2

•2•1sin120°=

3

6

（14分）
解2設AC與BD交于O，則OF∥CM，所以CM∥平面FBD，
當P點在M或C時，三棱錐P-BFD的體積的最�。�
S△BDF=

1

2

FD•BF=

10

2

，
平面FBD的法向量

m

=(-1，

-2

3

，1)，

CO

=(-1，

3

，a)
點C到平面FBD的距離d=

| CO • m |

m

=

3 10

V=

1

3

S•d=

3

6

．（14分）

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，棱柱、棱錐、棱臺的體積，向量語言表述線線的垂直、平行關系，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．