Question

如圖，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F₁作x軸的垂線交雙曲線的上半部分于點(diǎn)P，過點(diǎn)F₂作直線PF₂的垂線交直線l：x=

a2

c

于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-4）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，PF₁⊥QF₂，即可求得雙曲線C的方程；
（Ⅱ）利用角平分線的性質(zhì)，求出∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線方程．

解答：解：（Ⅰ）將點(diǎn)P（-c，y₁）（y₁＞0）代入

x2

a2

-

y2

b2

=1得y₁=

b2

a

∴P（-c，

b2

a

）
∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，-4），PF₂⊥QF₂
∴

b2 a -0

-c-c

×

0+4

c-1

=-1
∵

a2

c

=1，c²=a²-b²
∴a=2，c=4，b=

c2-a2

=2

3

∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），P（-4，6），則|PF₁|=6，|PF₂|=10
設(shè)∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程與x軸交于M（x，0），則由角平分線的性質(zhì)可得

10

6

=

4-x

x+4

∴x=-1，∴M（-1，0）
∴∠F₁PF₂的角平分線所在直線的方程為

y-0

6-0

=

x+1

-4+1

，即2x+y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．