Question

【題目】已知f （ x）= x2 ， g （ x）=a ln x（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù) F （ x）=f（x）g（x）的極值
（Ⅱ）若函數(shù) G（ x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）在區(qū)間 （ ，e） 內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù) h（ x）=g （ x ）﹣x+ ，設 x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），若 h（ x 2）﹣h（ x 1）存在最大值，記為 M （a），則當 a≤e+1 時，M （a） 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， ∴ ，
由F′（x）＞0得 ，
由F′（x）＜0，得
∴F（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
∴ ，F(xiàn)（x）無極大值．
（Ⅱ）
∴
又 ，易得G（x）在 上單調(diào)遞減，在[1，e）上單調(diào)遞增，
要使函數(shù)G（x）在 內(nèi)有兩個零點，
需 ，即 ，
∴ ，
∴ ，即a的取值范圍是 ．
（Ⅲ）若0＜a≤2，∵ 在（0，+∞）上滿足h′（x）≤0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴h（x2）﹣h（x1）＜0．
∴h（x2）﹣h（x1）不存在最大值，則a＞2，
∴方程x2﹣ax+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根，
令其為m，n，且不妨設0＜m＜1＜n，則 ，
h（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，n）上調(diào)遞增，在（n，+∞）上單調(diào)遞減，
對x1∈（0，1），有h（x1）≥h（m）；對x2∈（1，+∞），有h（x2）≤h（n），
∴[h（x2）﹣h（x1）]max=h（n）﹣h（m）．
∴ = ．
將 ， 代入上式，消去a，m，
得： ，
∵ ，∴ ，n＞1．
據(jù) 在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞增，得n∈（1，e]，
設 ，x∈（1，e]，
，x∈（1，e]，
∴φ′（x）＞0，即φ（x）在（1，e]上單調(diào)遞增，
∴ ，
∴M（a）存在最大值為
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式組，解出即可；（Ⅲ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到方程x2﹣ax+1=0有兩個不相等的正實數(shù)根，令其為m，n，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)，還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．