Question

18．已知在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠BCD=60°，側面SAB是正三角形，且面SAB⊥面ABCD，F(xiàn)為SD的中點．
（1）證明：SB∥面ACF；
（2）求面SBC與面SAD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O，連接OF，推導出FO∥SB，由此能證明SB∥面ACF．
（2）取AB中點M，連接MD，分別以MB、MD、MS為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）連接BD交AC于O，連接OF，
因為ABCD為菱形，所以OB=OD，
又F為SD的中點，所以FO∥SB，
因為FO?平面ACF，SB?面ACF，
所以SB∥面ACF．（4分）
（2取AB中點M，連接MD，分別以MB、MD、MS為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
設AB=a，則B（$\frac{a}{2}$，0，0），C（a，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），A（-$\frac{a}{2}$，0，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），S（0，0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），（6分）
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），$\overrightarrow{BS}$=（-$\frac{a}{2}，0，\frac{\sqrt{3}a}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}，0$），$\overrightarrow{AS}$=（$\frac{a}{2}，0，\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
設面SBC的法向量$\overrightarrow v=（{x^'}，{y^'}，{z^'}）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}{x}^{'}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{y}^{'}=0}\\{-\frac{a}{2}{x}^{'}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}^{'}=0}\end{array}\right.$，
令x′=1，則$\overrightarrow v=（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．
設面SAD的法向量為$\overrightarrow u=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\\{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}az=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則$\overrightarrow u=（1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．
則cos＜$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{v}$＞=$\frac{1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}×\sqrt{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}$=$\frac{3}{5}$，
所以銳二面角的余弦值為$\frac{3}{5}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．