Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|，?x∈R，使得f（x）≤t²-

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2

t成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：f（x）=|2x+1|-|x-2|，通過(guò)對(duì)自變量x的取值范圍的討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解相應(yīng)的不等式，可求得f（x）_min=f（-

1

2

）=-

5

2

，依題意，解不等式t²-

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2

t≥f（x）_min=-

5

2

即可．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=|2x+1|-|x-2|，
所以，當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，f（x）=-2x-1-（2-x）=-3-x，f（x）≥-3+

1

2

=-

5

2

；
當(dāng)-

1

2

≤x≤2時(shí)，f（x）=3x-1，-

5

2

≤f（x）≤5；
當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=x+3，f（x）＞5；
綜上所述，f（x）_min=f（-

1

2

）=-

5

2

；
存在x∈R，使得f（x）≤t²-

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2

t成立，只須使t²-

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2

t≥f（x）_min=-

5

2

，
解不等式2t²-11t+5≥0得t≤

1

2

或t≥5，
所以，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，

1

2

]∪[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查分類(lèi)討論思想與恒成立問(wèn)題，求得f（x）_min=f（-

1

2

）=-

5

2

是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．