Question

若關(guān)于x的方程

1

2

x²+

2a

x-

1

2

b+3=0與

1

4

x²+

2b

x-a+6=0在R上都有解，則2^3a•2^b 的最小值為（　　）

• A、256
• B、128
• C、64
• D、32

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意易得2a+b≥6，a+2b≥6，且a≥0，b≥0，線性規(guī)劃易得z=3a+b的最小值為6，進而可得結(jié)論．

解答： 解：∵關(guān)于x的方程

1

2

x²+

2a

x-

1

2

b+3=0與

1

4

x²+

2b

x-a+6=0在R上都有解，
∴（

2a

）²-4×

1

2

×（-

1

2

b+3）≥0，（

2b

）²-4×

1

4

×（-a+6）≥0，
整理可得2a+b≥6，a+2b≥6，且a≥0，b≥0，設(shè)z=3a+b，
作出2a+b≥6，a+2b≥6，且a≥0，b≥0所對應(yīng)的可行域，z=3a+b可化為b=-3a+z，
平移直線b=-3a可知當(dāng)直線經(jīng)過點A（0，6）時，z=3a+b的最小值為6，
∴2^3a•2^b=2^3a+b≥2⁶=64 
故選：C

點評：本題考查不等式的性質(zhì)，涉及線性規(guī)劃和一元二次方程根的存在性，屬中檔題．