Question

9．已知函數(shù)g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2lnx-2的圖象存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． e²
• D． 2e²

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2lnx-2的圖象存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則函數(shù)y=x²-a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與函數(shù)h（x）=2lnx-2的圖象有交點(diǎn)，即x²-a=2lnx-2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，利用導(dǎo)數(shù)法，可得a的最大值．

解答 解：若函數(shù)g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)），
若函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2lnx-2的圖象存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，
則函數(shù)y=x²-a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）與函數(shù)h（x）=2lnx-2的圖象有交點(diǎn)，
即x²-a=2lnx-2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
即a=x²-2lnx+2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有解，
令y=x²-2lnx+2，（$\frac{1}{e}$≤x≤e），
則y′=2x-$\frac{2}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)1＜x≤e時(shí)，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
故x=1時(shí)，函數(shù)取最小值3，
當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)取最大值e²，
故實(shí)數(shù)a的最大值為e²，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔．