Question

求經(jīng)過(guò)l₁：2x-3y+2=0與l₂：3x-4y-2=0的交點(diǎn)，且分別滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)l的方程．
（1）過(guò)點(diǎn)（1，1）；
  （2）平行于直線(xiàn)2x-y-2=0．

Answer 1

分析：法一：由

2x-3y+2=0 3x-4y-2=0

得交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）
（1）由點(diǎn)（14，10）及（1，1）知所求直線(xiàn)l的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式可求直線(xiàn)方程
（2）由題意可得所求直線(xiàn)l的斜率為2，由點(diǎn)（14，10）及斜率2利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式可求
解法二（利用直線(xiàn)系方程）：設(shè)所求直線(xiàn)l的方程為2x-3y+2+λ（3x-4y-2）=0，即（3λ+2）x-（4λ+3）y+2-2λ=0
（1）將點(diǎn)（1，1）代入方程可求λ，進(jìn)而可求直線(xiàn)方程
（2）由直線(xiàn)平行可得

3λ+2

4λ+3

=2，從而可求λ，進(jìn)而可求直線(xiàn)方程

解答：解：法一：由

2x-3y+2=0 3x-4y-2=0

得直線(xiàn)l₁與直線(xiàn)l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）
（1）由點(diǎn)（14，10）及（1，1）知所求直線(xiàn)l的斜率為

9

13

所以所求直線(xiàn)l的方程為9x-13y+4=0
（2）直線(xiàn)2x-y-2=0的斜率為2，所以所求直線(xiàn)l的斜率也為2
由點(diǎn)（14，10）及斜率2可得所求直線(xiàn)l的方程為2x-y-18=0
解法二：設(shè)所求直線(xiàn)l的方程為2x-3y+2+λ（3x-4y-2）=0
即（3λ+2）x-（4λ+3）y+2-2λ=0----（*）
（1）將點(diǎn)（1，1）代入方程（*）得λ=

1

3

將λ=

1

3

代入方程（*）得所求直線(xiàn)l的方程為9x-13y+4=0
（2）由方程（*）得斜率為

3λ+2

4λ+3

，直線(xiàn)2x-y-2=0的斜率為2
所以

3λ+2

4λ+3

=2，解得λ=-

4

5

，將λ=-

4

5

代入方程（*）得
直線(xiàn)l的方程為2x-y-18=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求解直線(xiàn)的方程，解題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用兩直線(xiàn)平行轉(zhuǎn)換斜率的相等關(guān)系，還要注意解法2中的直線(xiàn)系的設(shè)法．