Question

若函數y=f（x）存在反函數y=f^-1（x），且函數y=tan

πx

6

-f(x)的圖象過點(2，

3

-

1

3

)，則函數y=f^-1（x）-（arcsinx+arccosx）的圖象一定過點

(

1

3

，2-

π

2

)

．

Answer 1

分析：由函數y=f（x）的反函數為y=f^-1（x），且函數y=tan

πx

6

-f(x)的圖象過點(2，

3

-

1

3

)，代入計算出函數y=f（x）的圖象過哪一個點，根據原函數與反函數圖象的關系，我們易得函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）過什么點，進而得到函數y=f^-1（x）-（arcsinx+arccosx）的圖象過的定點．

解答：解：∵函數y=tan

πx

6

-f(x)的圖象過點(2，

3

-

1

3

)，
∴

3

-

1

3

=tan

π

3

-f（2）
即f（2）=

1

3

即函數y=f（x）的圖象過點（2，

1

3

）
則函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）過（

1

3

，2）點
∴函數y=f^-1（x）-（arcsinx+arccosx）的圖象一定過點(

1

3

，2-

π

2

)，
故答案為：(

1

3

，2-

π

2

)．

點評：本題考查的知識點是函數的圖象及圖象的變化，處理本題的核心是：互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱，具體為：函數y=f（x）的圖象過（a，b）點，則函數y=f（x）存在反函數y=f^-1（x）的圖象過（b，a）點．