Question

已知函數(shù)f(x)=-x²+8x,g(x)=6lnx+m.

(Ⅰ)求f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t)；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍;若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)f(x)=-x²+8x=-(x-4)²+16,

    當(dāng)t+1＜4,即t＜3時(shí),f(x)在［t，t+1］上單調(diào)遞增，h(t)=f(t+1)=-t²+6t+7;

    當(dāng)t≤4≤t+1,即3≤t≤4時(shí)，h(t)=f(4)=16;

    當(dāng)t＞4時(shí)，f(t)在［t,t+1］上單調(diào)遞減，h(t)=f(t)=-t²+8t.

    綜上h(t)=

(Ⅱ)函數(shù)y=f（x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)φ（x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).∵φ(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴φ′(x)=2x-8+=.(x＞0)

    當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ′(x)＞0，φ(x)是增函數(shù)；

    當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，φ′（x)＜0,φ(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí)，φ′(x)＞0，φ(x)是增函數(shù)；當(dāng)x=1或x=3時(shí)，φ′(x)=0.

∴φ（x）_最大=φ（1）=m-7.φ(x)₊=φ(3)=m+6ln3-15.

∵當(dāng)x→0時(shí)  φ（x)＜0,x→+∞時(shí)  φ(x)＞0

∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),必須

即7＜m＜15-6ln3.

    所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).m的取值范圍為（7，15-6ln3）.