Question

已知點A（2，0），B、C在y軸上，且|BC|=4．
（1）求△ABC外心的軌跡S的方程；
（2）若P、Q為軌跡S上兩點，求實數(shù)

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)外心坐標(biāo)為G（x，y），根據(jù)|BC|=4可設(shè)B（0，a），C（0，a+4），然后根據(jù)外心是外接圓的圓心可以得到（x-2）²+y²=x²+（y-a）²，整理即可得到答案．
（2）先設(shè)點P，Q的坐標(biāo)，然后表示出、，根據(jù)可以得到關(guān)系式，再由點A在拋物線y²=4x內(nèi)可以得到，然后用λ表示出y₁、y₂，最后表示出|PQ|整理即可求出λ的范圍．
解答：解：（1）設(shè)△ABC外心為G，且G（x，y），B（0，a），C（0，a+4）
由G點在BC的垂直平分線上知y=a+2
由|GA|²=|GB|²，得（x-2）²+y²=x²+（y-a）²
故（x-2）²+y²=x²+2²
即點G的軌跡S為：y²=4x；
（2）設(shè)點P，Q
則，
∴
因為點A在拋物線y²=4x內(nèi)，所以λ＞0
∴，不妨取
則|PQ|==
==2
由|PQ|及λ＞0得，∴λ＞2，或
故λ的取值范圍是．
點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合題．圓錐曲線和直線的綜合題一般作為高考的壓軸題出現(xiàn)．