Question

設函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-a|（a∈R）．
（1）當a=2時，求不等式f（x）≤4；
（2）當a＜-

1

2

時，若存在x≤-

1

2

使得f（x）+x≤3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,推理和證明

分析：（1）運用函數(shù)的零點分區(qū)間，討論當x≥2、x≤-

1

2

、-

1

2

＜x＜2時，化簡不等式解得，最后求并集即可；
（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最小值，即可解出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=|2x+1|+|x-2|，
當x≥2時，f（x）≤4，即為（2x+1）+（x-2）≤4，即x≤

5

3

成立，則有2≤x≤

5

3

；
當x≤-

1

2

時，f（x）≤4，即為-（2x+1）-（x-2）≤4，即x≥-1，則-1≤x≤-

1

2

；
當-

1

2

＜x＜2時，f（x）≤4，即為（2x+1）-（x-2）≤4，即x≤1，則有-

1

2

＜x≤1．
則原不等式的解集為[-1，1]；
（2）由a＜-

1

2

，x≤-

1

2

可得f（x）=

-2x+a-1，x＜a -a-1，a≤x≤- 1 2

，
∵存在x≤-

1

2

使得f（x）+x≤3成立，
∴3≥|f（x）+x|_min=-a-1，
∴求得a≥-4，
則a的取值范圍為[-4，-

1

2

）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的存在性問題，注意與恒成立問題的區(qū)別，屬于中檔題和易錯題．