Question

已知函數(shù)y=x³+3x²+x的圖象C上存在一定點(diǎn)P滿足：若過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），就恒有y₁+y₂的定值為y₀，則y₀的值為

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意判斷出MN兩點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱，求得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)和二階導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)三次函數(shù)的對(duì)稱中心的二階導(dǎo)數(shù)為0，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則y₁+y₂的值可求得．

解答：解：∵P為定點(diǎn)，y₁+y₂為定值，
∴MN兩點(diǎn)關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱
y′=3x²+6x+1，y〃=6x+6
三次函數(shù)的對(duì)稱中心的二階導(dǎo)數(shù)為0
y〃=6x+6=0
∴x=-1
故P點(diǎn)為（-1，1）
∴y₁+y₂=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．