Question

下列命題中，真命題的是（　　）

• A．?x∈[0，

  π

  2

  ]，sinx+cosx≥2
• B．?x∈R，x²+x=-1
• C．?x∈（3，+∞），x²＞3x-1
• D．?x∈（

  π

  2

  ，π）tanx＞sinx

Answer 1

分析：對(duì)于A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），根據(jù)x∈[0，

π

2

]，可得sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[1，

2

]；
對(duì)于B，x=0不成立；
對(duì)于C，根據(jù)x＞3，可得x²-3x+1=（x-

3

2

）²-

5

4

=9-9+1=1＞0；
對(duì)于D，?x∈（

π

2

，π），tanx＜0，sinx＞0，故可得結(jié)論．

解答：解：對(duì)于A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴sin（x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，∴sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[1，

2

]，故A為假命題；
對(duì)于B，x=0不成立；
對(duì)于C，x²-3x+1=（x-

3

2

）²-

5

4

，∵x＞3，∴x²-3x+1=（x-

3

2

）²-

5

4

=9-9+1=1＞0，故C為真命題；
對(duì)于D，?x∈（

π

2

，π），tanx＜0，sinx＞0，故為假命題
綜上，真命題為C
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是確定三角函數(shù)的值域，正確判斷三角函數(shù)的符號(hào)，屬于中檔題．