Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，

π

2

]上的最值及取最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為 2sin(2x-

π

6

)+2，由此求得它的周期．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式為 2sin(2x-

π

6

)+2，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（3）根據(jù)x的范圍，以及正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="xldndvh" class="MathJye">f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+2

3

sinxcosx+1…（1分）
=

3

sin2x-cos2x+2=2sin(2x-

π

6

)+2，…（3分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…..（4分）
（2）因?yàn)?span id="h9jzp5b" class="MathJye">f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，…（6分）
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，…..（7分）
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．…（8分）
（3）因?yàn)?span id="59xl5ph" class="MathJye">0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．…..…（9分）
所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．…..…..…．（10分）
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2∈[1，4]．…..…（12分）
當(dāng)2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值1．…..…（13分）
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，f（x）取得最大值4．…..…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．