已知函數(shù)f(x)=
a(2x+1)-22x+1
．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a使得f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出a的值并證明；若不存在，說明理由；
（2）在（1）的條件下判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明．
分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性即可判斷出；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可證明其單調(diào)性．
解答：解：（1）存在a使得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
證明：假設(shè)存在這樣的a的值，∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，∴f（0）=0，∴
2a-2
2
=0，解得a=1．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=
2x-1
2x+1
．
∵f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-f（x），
∴a=1時(shí)，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）在（1）的條件下，f（x）=
2x-1
2x+1
=
2x+1-2
2x+1
=1-
2
2x+1
在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增．
證明：?x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=(1-
2
2x1+1
)-(1-
2
2x2+1
)=
2
2x2+1
-
2
2x1+1

=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
，
∵x1＜x2，∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0．
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案