Question

在平面直角坐標系中，已知A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M，O為坐標原點，若實數(shù)λ使向量，和滿足：，設(shè)點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程，并判斷W是怎樣的曲線；
（Ⅱ）當時，過點A₁且斜率為1的直線與W相交的另一個交點為B，能否在直線x=-9上找到一點C，恰使△A₁BC為正三角形？請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1）…（2分）
①λ²＞1，方程為，焦點在x軸上的雙曲線
②λ²=0，圓心在原點，半徑為3的圓
③0＜λ²＜1，，焦點在x軸上的橢圓
④λ²=1，直線 y=0…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）
設(shè)直線A₁B方程為y=x+3，由可得5x²+18x+9=0…（10分）
∴A₁（-3，0），B（-）
∴，
在直線x=-9上，離A₁（-3，0），最短距離為6，
∴|A₁C|＞，故無法形成正三角形
∴在直線x=-9上不存在點C，恰使△A₁BC為正三角形 …（12分）
分析：（Ⅰ）由已知得λ²（x²-9）=x²-9+y²，即（λ²-1）x²-y²=9（λ²-1），對λ²分類討論，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ），由可得5x²+18x+9=0，求得，|A₁C|＞，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查曲線與方程，考查分類討論的數(shù)學思想，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．