【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求零點處的切線方程;
(Ⅱ)若有兩個零點,求證:.
【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)見解析
【解析】
(I)先把代入得到,根據(jù)零點存在性原理判斷函數(shù)的零點坐標原點和,代入求出切線斜率即可求出切線方程;
(II)先構造一個函數(shù),利用這個函數(shù)可得到,從而有,再構造,得到,有,再根據(jù)即可證明.
解:(Ⅰ)由題意得:,,定義域為,
,
,在上為減函數(shù).
,
由零點存在定理可知,在上必存在一點使
當時,,即在上為增函數(shù),
當時,,即在上為減函數(shù),
極大值,
故至多有兩個零點,又,,
故,是的兩個零點,由,,
易得出兩切線方程為:或
(Ⅱ)由(Ⅰ)易知,
設,
,,
在上為增函數(shù),
當時,,即在上為減函數(shù),
當時,,即在上為增函數(shù),
,即,
設與的交點橫坐標為,
,
為增函數(shù),,
同理設,
,,
在上為增函數(shù),,
當時,,即在上為增函數(shù),
當時,,即在上為減函數(shù),
,即,
設與的交點橫坐標為,
,
為減函數(shù),,
故:,
得證.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】極坐標系中橢圓C的方程為,以極點為原點,極軸為軸非負半軸,建立平面直角坐標系,且兩坐標系取相同的單位長度.
(Ⅰ)求該橢圓的直角標方程,若橢圓上任一點坐標為,求的取值范圍;
(Ⅱ)若橢圓的兩條弦,交于點,且直線與的傾斜角互補,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校高三年級在開學時舉行了入學檢測.為了了解本年級學生寒假期間歷史的學習情況,現(xiàn)從年級名文科生中隨機抽取了名學生本次考試的歷史成績,得到他們歷史分數(shù)的頻率分布直方圖如圖.已知本次考試高三年級歷史成績分布區(qū)間為.
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這名學生歷史成績的平均分,眾數(shù);(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值作代表)
(3)已知該學校每年高考有%的同學歷史成績在一本線以上,用樣本估計總體的方法,請你估計本次入學檢測歷史學科劃定的一本線該為多少分?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具,即“文房四寶”.筆、墨、紙、硯之名,起源于南北朝時期,其中的“紙”指的是宣紙,宣紙“始于唐代,產于涇縣”,而唐代涇縣隸屬于宣州府管轄,故因地而得名“宣紙”,宣紙按質量等級,可分為正牌和副牌(優(yōu)等品和合格品),某公司年產宣紙10000刀(每刀100張),公司按照某種質量標準值給宣紙確定質量等級,如下表所示:
公式在所生產的宣紙中隨機抽取了一刀(100張)進行檢驗,得到頻率分布直方圖如圖所示,已知每張正牌紙的利潤是10元,副牌紙的利潤是5元,廢品虧損10元.
(1)估計該公式生產宣紙的年利潤(單位:萬元);
(2)該公司預備購買一種售價為100萬元的機器改進生產工藝,這種機器的使用壽命是一年,只能提高宣紙的質量,不影響產量,這種機器生產的宣紙的質量標準值的頻率,如下表所示:
其中為改進工藝前質量標準值的平均值,改進工藝后,每張正牌和副牌宣紙的利潤都下降2元,請判斷該公司是否應該購買這種機器,并說明理由.
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【題目】在直角坐標系中,已知點,,動點滿足直線與的斜率之積為.記的軌跡為曲線.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.
(1)求和的直角坐標方程;
(2)求上的點到距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近年來,隨著“一帶一路”倡議的推進,中國與沿線國家旅游合作越來越密切,中國到“一帶一路”沿線國家的游客人也越來越多,如圖是2013-2018年中國到“一帶一路”沿線國家的游客人次情況,則下列說法正確的是( )
①2013-2018年中國到“一帶一路”沿線國家的游客人次逐年增加
②2013-2018年這6年中,2014年中國到“一帶一路”沿線國家的游客人次增幅最小
③2016-2018年這3年中,中國到“一帶一路”沿線國家的游客人次每年的增幅基本持平
A.①②③B.②③C.①②D.③
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且Sn+2=2an,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn,設數(shù)列{bn}的前項和為Tn,若Tn,求n的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2016高考新課標II,理15)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設拋物線的焦點為,直線與拋物線交于兩點.
(1)若過點,且,求的斜率;
(2)若,且的斜率為,當時,求在軸上的截距的取值范圍(用表示),并證明的平分線始終與軸平行.
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