Question

線段AB與平面α平行，α的斜線A₁A、B₁B與α所成的角分別為30°和60°，且∠A₁AB=∠B₁BA=90°，AB=6，A₁B₁=10，求AB與平面α的距離．

Answer 1

【答案】分析：求直線到平面的距離常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．作AG⊥α于點(diǎn)G，BH⊥α于點(diǎn)H，連接A₁G、B₁H、GH，作B₁C⊥A₁G于點(diǎn)C，則通過解三角形可得AG的長度．另外，此題還要考慮到當(dāng)A₁、B₁分居平面AH兩側(cè)時，AG的長度．故本題AB與平面α的距離有兩個答案．
解答：解：如圖，作AG⊥α于點(diǎn)G，BH⊥α于點(diǎn)H，連接A₁G、B₁H、GH，
∵A₁A⊥AB，
∴A₁G⊥GH．
同理，B₁H⊥GH．
作B₁C⊥A₁G于點(diǎn)C，則B₁C=GH=AB=6，∠AA₁G=30°，∠BB₁H=60°．
設(shè)B₁H=x，則CG=B₁H=x，AG=BH=x，A₁G=3x=x+A₁C=x+8．
所以x=4，AG=BH=4．
當(dāng)A₁、B₁分居平面AH兩側(cè)時，類似可得AG=BH=2．
故求AB與平面α的距離為或．
點(diǎn)評：本小題主要考查直線到平面的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面所成的角等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．