Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

3

)x．
（1）若y=f（x）和y=f^-1（x）到為反函數(shù)，求g（x）=f^-1（x²+2x-3）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)y=[f（x）]²-2f（x）+3的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）和y=f^-1（x）到為反函數(shù)可求得g（x），先求出g（x）的定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可求得g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令t=(

1

3

)x，由x∈[-1，1]可得t∈[

1

3

，3]，則y=[f（x）]²-2f（x）+3可化為關(guān)于t的二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；

解答：解：（1）∵y=f（x）和y=f^-1（x）到為反函數(shù)，
∴y=f^-1（x）=log

1

3

x，
∴g（x）=f^-1（x²+2x-3）=log

1

3

(x2+2x-3)，
由x²+2x-3＞0，得x＜-3或x＞1，∴g（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（1，+∞），
∵y=log

1

3

t遞減，且t=x²+2x-3在（-∞，-3）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴g（x）log

1

3

(x2+2x-3)在（-∞，-3）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴g（x）的增區(qū)間為（-∞，-3），減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）令t=(

1

3

)x，∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

3

，3]，
∴y=[f（x）]²-2f（x）+3=t²-2t+3=（t-1）²+2，
當(dāng)t=3時(shí)，y取得最大值為6，當(dāng)t=1時(shí)，y取得最小值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及反函數(shù)，注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：“同增異減”．