已知橢圓C1
x2
16
+
y2
12
=1
,雙曲線C2與C1具有相同的焦點,且離心率互為倒數(shù).
①求雙曲線C2的方程;
②圓C:x2+y2=r2(r>0)與兩曲線C1、C2交點一共有且僅有四個,求r的取值范圍;是否存在r,使得順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形?
分析:①依題意,設雙曲線C2的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0),由雙曲線C2與C1具有相同的焦點,且離心率互為倒數(shù),知
c=2
c
a
=2
,由此可求出雙曲線C2的方程.
②橢圓C1的頂點為A(±4,0)、B(0,±2
3
)
,雙曲線C2的頂點為M(±1,0),橢圓C1與雙曲線C2的交點為N(±2,±3),|ON|=
13
.所以圓C與兩曲線C1、C2有且僅有四個交點,再運用曲線的對稱性將問題轉(zhuǎn)化從而簡化計算.
解答:解:①依題意,設雙曲線C2的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)
橢圓C1的離心率為
2
4
=
1
2
,焦點為F(±2,0),
所以
c=2
c
a
=2
,
解得a=1,c=2,b=
c2-a2
=
3

②橢圓C1的頂點為A(±4,0)、B(0,±2
3
)
,雙曲線C2的頂點為M(±1,0),橢圓C1與雙曲線C2的交點為N(±2,±3),|ON|=
13

所以圓C與兩曲線C1、C2有且僅有四個交點,
當且僅當1<r<2
3
r=
13
或r>4.
直線y=±x與橢圓C1的交點為P(±
4
3
7
,±
4
3
7
)
,|OP|=
4
6
7

因為2
3
4
6
7
<4
,且
4
6
7
13
,
所以,以O為圓心、|OP|為半徑的圓與兩曲線C1、C2的交點不只四個,不合要求.
直線y=±x與雙曲線C2的交點為Q(±
3
2
,±
3
2
)
,|OQ|=
3
1<
3
<2
3
,符合要求,
r=
3
時,交點有且僅有四個,順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形.
點評:本題是橢圓、雙曲線與圓的綜合,解題要求先用待定系數(shù)法求軌跡方程,再數(shù)形結(jié)合討論曲線的幾何性質(zhì),第②問關鍵是運用曲線的對稱性將問題轉(zhuǎn)化從而簡化計算.另外,圓錐曲線的一些數(shù)量關系常用向量表示:設橢圓C1的兩個焦點為F1、F2,動點P滿足
PF1
PF2
=
1
4
|
F1F2
OP
|2-7
,則動點軌跡也是曲線C2
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)定義:由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
4
+y2=1

(1)若橢圓C2
x2
16
+
y2
4
=1
,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱,求實數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個“相似橢圓”M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
Mλ
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a>b>0,0<λ<1)
分別交于點A,B和點C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點E和點F(非橢圓頂點),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形,寫出具體作法.(不必證明)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•上海)已知橢圓C1
x2
12
+
y2
4
=1,C2
x2
16
+
y2
8
=1
,則(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•嘉興一模)已知橢圓C1
x2
16
+
y2
15
=1
的左焦點為F,點P為橢圓上一動點,過點以F為圓心,1為半徑的圓作切線PM,PN,其中切點為M,N則四邊形PMFN面積的最大值 為
2
6
2
6

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1
x2
16
+
y2
12
=1
,雙曲線C2與C1具有相同的焦點,且離心率互為倒數(shù).
①求雙曲線C2的方程;
②圓C:x2+y2=r2(r>0)與兩曲線C1、C2交點一共有且僅有四個,求r的取值范圍;是否存在r,使得順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形?

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