如圖,在四棱錐P―ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,邊長(zhǎng)為的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(Ⅰ)求四棱錐P―ABCD的體積;
(Ⅱ)若E為BC邊的中點(diǎn),能否在棱上PC找到一點(diǎn)F,使平面DEF⊥平面ABCD,并證明你的結(jié)論.
解:(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,
∴△PAD,△ABD,△BCD是全等的正三角形.
取AD中點(diǎn)G,連結(jié)PG,BG,則PG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,
即PG為四棱錐P―ABCD的高.
∵AD=A=.∴PG=
.
又S□ABCD=AB?AD?sin∠DAB=,
∴□
.
(Ⅱ)取PC中點(diǎn)F,則F即為所找的點(diǎn).
連接DE、EF、DF(如圖),
∵G、E分別是AD、BC的中點(diǎn),∴GB//DE,
∵E、F分別是BC、PC的中點(diǎn),
∴EF//PB.
∴AD⊥PG,AD⊥BG,BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PGB,
∴AD⊥PB,∴AD⊥EF.
又BG//DE,∴AD⊥DE,DE∩EF=E,
∴AD⊥平面DEF,AD平面ABCD,
∴平面DEF⊥平面ABCD.
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