如圖,在四棱錐P―ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°,邊長(zhǎng)為的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

    (Ⅰ)求四棱錐P―ABCD的體積;

    (Ⅱ)若E為BC邊的中點(diǎn),能否在棱上PC找到一點(diǎn)F,使平面DEF⊥平面ABCD,并證明你的結(jié)論.

解:(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°,

    ∴△PAD,△ABD,△BCD是全等的正三角形.

    取AD中點(diǎn)G,連結(jié)PG,BG,則PG⊥AD.

    ∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PG⊥平面ABCD,

    即PG為四棱錐P―ABCD的高.

    ∵AD=A=.∴PG=

又S□ABCD=AB?AD?sin∠DAB=

(Ⅱ)取PC中點(diǎn)F,則F即為所找的點(diǎn). 

連接DE、EF、DF(如圖),

∵G、E分別是AD、BC的中點(diǎn),∴GB//DE,

∵E、F分別是BC、PC的中點(diǎn),

∴EF//PB.

∴AD⊥PG,AD⊥BG,BG∩PG=G,

∴AD⊥平面PGB,

  ∴AD⊥PB,∴AD⊥EF.

    又BG//DE,∴AD⊥DE,DE∩EF=E,

    ∴AD⊥平面DEF,AD平面ABCD,

∴平面DEF⊥平面ABCD. 

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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大�。�

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
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(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
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(2)求A到面PCD的距離.

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