Question

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D．求證：ED²=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)．A，B，C，求線段AB的長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

Answer 1

分析：A．由弦切角定理，得∠CAE=∠CBA，結(jié)合AD是∠BAC的平分線和三角形的外角定理，得EA=ED．最后根據(jù)切割線定理結(jié)合等量代換，得ED²=EB•EC．
B．根據(jù)公式列出f（λ）=0，可解出兩個(gè)特征值λ₁=7，λ₂=-2．再結(jié)合條件，列出特征向量滿(mǎn)足的方程組，將解出的x、y值變成列矩陣，即可得到屬于這兩個(gè)特征值特征向量．
C．將直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，聯(lián)解可得交點(diǎn)分別為A（1，-2）和B（9，6），最后用平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式，可算出線段AB的長(zhǎng)．
D．以x-1和y-2為基本量，利用絕對(duì)值三角不等式可得|x-y+1|≤|x-1|+|y-2|，結(jié)合已知條件不難得到|x-y+1|的最大值．

解答：解：A．∵EA是圓的切線，AC為過(guò)切點(diǎn)A的弦，∴∠CAE=∠CBA．
又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD
∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE
∴△EAD是等腰三角形，得EA=ED．
又∵EA²=EC•EB，∴ED²=EB•EC．
B．由題意，得f（λ）=（λ+1）（λ-6）-8=λ²-5λ-14=（λ-7）（λ+2）
由f（λ）=0，得λ₁=7，λ₂=-2
根據(jù)

(7+1)x-4y=0 -2x+(7-6)y=0

，可得

x=1 y=2

，所以屬于λ₁=7的一個(gè)特征向量為

1   2

根據(jù)

(-2+1)x-4y=0 -2x+(-2-6)y=0

，可得

x=4 y=-1

，所以屬于λ₂=-2的一個(gè)特征向量為

4   -1

C、ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

化簡(jiǎn)，得ρcosθ-ρsinθ=3
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y-3=0
同理，拋物線ρsin²θ=4cosθ化成直角坐標(biāo)方程y²=4x
將直線方程與拋物線方程聯(lián)解，得

x=1 y=-2

或

x=9 y=6

∴直線與拋物線交于點(diǎn)A（1，-2）和B（9，6）
由兩點(diǎn)的距離公式，得線段AB的長(zhǎng)為

(1-9)2+(-2-6)2

=8

2

D、∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，
∴|x-y+1|=|（x-1）-（y-2）|≤|x-1|+|y-2|≤1+1=2，
故|x-y+1|的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng) x=2，y=3，或x=0，y=1時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程、特征值與特征向量的計(jì)算、與圓有關(guān)的比例線段和絕對(duì)值三角不等式等知識(shí)，考查了同學(xué)們對(duì)理科選修知識(shí)的掌握，屬于中檔題．