Question

已知f（x）=e^x，g（x）為其反函數(shù)．
（Ⅰ）說(shuō)明函數(shù)f（x）與g（x）圖象的關(guān)系（只寫出結(jié)論即可）；
（Ⅱ）證明f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方；
（Ⅲ）設(shè)直線l與f（x）、g（x）均相切，切點(diǎn)分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求證：x₁＞1．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x直線對(duì)稱．
（II）設(shè)h（x）=x，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）-h（x）=e^x-x的最小值大于0，從而得e^x＞x，利用導(dǎo)數(shù)求得h（x）-g（x）=x-lnx的最小值大于0，從而得x＞lnx，這樣可證明f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方．
（III）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率為ex1=

1

x2

=

lnx2-ex1

x2-x1

，利用ex1＞0得0＜x₂＜1⇒lnx₂＜0⇒x₁＞x₂+1，可證x₁＞1．

解答：解：（Ⅰ）f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（Ⅱ）g（x）=lnx，設(shè)h（x）=x
令y=f（x）-h（x）=e^x-x，y'=e^x-1
令y'=0，即e^x=1，解得x=0
當(dāng)x＜0時(shí)y'＜0，當(dāng)x＞0時(shí)y'＞0
∴當(dāng)x=0時(shí)，ymin=e0-0=1＞0
∴e^x＞x
令y=h（x）-g（x）=x-lnx，y′=1-

1

x

=

x-1

x

(x＞0)
令y'=0，解得x=1
當(dāng)0＜x＜1時(shí)y'＜0，當(dāng)x＞1時(shí)y'＞0
∴當(dāng)x=1時(shí)，y_min=1-ln1=1＞0
∴x＞lnx，（x＞0）
∴f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方．
（Ⅲ）f'（x）=e^x，g′(x)=

1

x

，切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，ex1)，(x2，lnx2)，可得方程組：

ex1= 1 x2 lnx2-ex1 x2-x1 =ex1

∵x₁＞x₂＞0，∴ex1＞1，∴

1

x2

＞1，∴0＜x₂＜1，
∴l(xiāng)nx₂＜0，又lnx₂-ex1=ex1（x₂-x₁），∴l(xiāng)nx₂=ex1（x₂-x₁+1）＜0，
∴x₂-x₁+1＜0，
∴x₁＞x₂+1＞1，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義及應(yīng)用，考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題的證明，考查了學(xué)生的邏輯推理論證能力．綜合性強(qiáng)．