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19.若函數(shù)y=f(x)的定義域D中恰好存在n個(gè)值x1,x2,…,xn滿(mǎn)足f(-xi)=f(xi)(i=1,2,…,n),則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)為定義域D上的“n度局部偶函數(shù)”.已知函數(shù)g(x)=\left\{\begin{array}{l}{sin(\frac{π}{2}x)-1,x<0}\\{lo{g}_{a}x(a>0,a≠1),x>0}\end{array}\right.是定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上的“3度局部偶函數(shù)”,則a的取值范圍是(\frac{1}{4},\frac{1}{2}).

分析 根據(jù)條件得到函數(shù)f(x)存在n個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),作出函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性建立不等式關(guān)系 進(jìn)行求解即可.

解答 解:由“n度局部偶函數(shù)”的定義可知,
函數(shù)存在關(guān)于y對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有n個(gè),
當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)g(x)=sin(\frac{π}{2}x)-1,
關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為y=sin(-\frac{π}{2}x)-1
=-sin(\frac{π}{2}x)-1,x>0,
作出函數(shù)g(x)和函數(shù)y=h(x)=-sin(\frac{π}{2}x)-1,
x>0的圖象如圖:
若g(x)是定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞)上的“3度局部偶函數(shù)”,
則等價(jià)為函數(shù)g(x)和函數(shù)y=-sin(\frac{π}{2}x)-1,x>0的圖象有且只有3個(gè)交點(diǎn),
若a>1,則兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不滿(mǎn)足條件;
當(dāng)0<a<1時(shí),則滿(mǎn)足\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{g(2)>h(2)}\\{g(4)<h(4)}\end{array}\right.,
\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{lo{g}_{a}2>-1}\\{lo{g}_{a}4<-1}\end{array}\right.,則\left\{\begin{array}{l}{0<a<1}\\{a<\frac{1}{2}}\\{a>\frac{1}{4}}\end{array}\right.,即\frac{1}{4}<a<\frac{1}{2},
故答案為:(\frac{1}{4}\frac{1}{2}).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用,根據(jù)條件得到函數(shù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的個(gè)數(shù),作出圖象,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅱ)若二面角A-DE-H的大小為\frac{π}{3},求平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值.

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(2)若θ=45°,求二面角A-A1C-D所成角的大�。�

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