Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為8，E、F分別為AD₁，CD₁中點，G、H分別為棱DA，DC上動點，且EH⊥FG．
（1）求GH長的取值范圍；
（2）當GH取得最小值時，求證：EH與FG共面；并求出此時EH與FG的交點P到直線B₁B的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設DG=a，DH=b可得E、F、G、H各點的坐標，得到、坐標，根據(jù)•=0，解出b=4-a，根據(jù)距離公式得到GH==，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到GH長的取值范圍；
（2）由（1）知當a=b=2時，GH取得最小值．由此算出EF∥GH，即EH與FG共面，得，設P（x₁，y₁，z₁），得到=（x₁-4，y，z₁-4），從而建立關(guān)于x₁、y₁、z₁的方程組，解之得P在ABCD平面上的射影M的坐標，結(jié)合兩點間的距離公式即可算出P到直線B₁B的距離．
解答：解：（1）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．
設DG=a，DH=b，可得
E（4，0，4），F(xiàn)（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）．
∴=（-4，b，-4），=（a，-4，-4）．
∵EH⊥FG，∴•=-4a-4b+16=0，則a+b=4，即b=4-a．
又G₁H在棱DA，DC上，則0≤a≤8，0≤b≤8，從而0≤a≤4．
∴GH==．
∴GH取值范圍是[2，4]．        …（6分）
（2）當GH=2時，a=2，b=2．
∴=（-2，2，0），=（-4，4，0），即=2．
∴EF∥GH，即EH與FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，則．
設P（x₁，y₁，z₁），則=（x₁-4，y，z₁-4）．
∴x₁=，y₁=，z₁=，即P（，，）．
則P（，，）在底面上ABCD上的射影為M（，，0）．
又∵B（8，8，0），
∴，即為點P到直線B₁B的距離．…（12分）
點評：本題在正方體中求點到直線的距離，著重考查了空間直角坐標系的建立、利用空間向量的方法求點線距離和正方體的性質(zhì)等知識，考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．