Question

16．如圖，已知AB=AC，圓O是△ABC的外接圓，CD⊥AB，CE是圓O的直徑．過點B作圓O的切線交AC的延長線于點F．
（Ⅰ）求證：AB•CB=CD•CE；
（Ⅱ）若$BC=\sqrt{2}$，$BF=2\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AE，證明Rt△CBD∽Rt△CEA，結(jié)合AB=AC，即可證明：AB•CB=CD•CE；
（Ⅱ）證明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割線定理有FA•FC=FB²，求出AC，即可求△ABC的面積．

解答 證明：（Ⅰ）連接AE，∵CE是直徑，∴∠CAE=90°，
又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，
∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…（2分）
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{AC}{CE}$，∴AC•CB=CD•CE
又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（5分）
（Ⅱ）∵FB是⊙O的切線，∴∠CBF=∠CAB．
∴在△ABF和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}∠FAB=∠FBC\\∠AFB=∠CFB\end{array}\right.$，∴△ABF～△BCF，
∴$\frac{FB}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}=2$，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…（7分）
設(shè)AC=x，則根據(jù)切割線定理有FA•FC=FB²
∴x•2x=8，∴x=2，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{4-\frac{1}{2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．…（10分）

點評 本題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查了相似三角形的判定和切割線定理等知識點，屬于中檔題．