Question

1．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥2-|x-1|恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象圍成三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$（|x-\frac{a}{2}|+|x-1|{）_{min}}≥1$成立，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出其最小值，從而求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出f（x）的分段函數(shù)的形式，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出m的范圍即可．

解答 解：（ I）∵f（x）≥2-|x-1|恒成立，
即$|x-\frac{a}{2}|+|x-1|≥1$恒成立，
∴$（|x-\frac{a}{2}|+|x-1|{）_{min}}≥1$成立，（2分）
由$|x-\frac{a}{2}|+|x-1|≥|x-\frac{a}{2}-x+1|=|\frac{a}{2}-1|$得$|\frac{a}{2}-1|≥1$，（3分）
解得：a≤0或a≥4，所以a的取值范圍為（-∞，0]∪[4，+∞）．（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=|2x-1|+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}2-3x，（x≤\frac{1}{2}）\\ x，（\frac{1}{2}＜x＜1）\\ 3x-2，（x≥1）\end{array}\right.$（6分）
做出f（x）的圖象，如圖所示：
（8分）
可知，當(dāng)$\frac{1}{2}＜m≤1$時(shí)，直線y=m與函數(shù)的圖象圍成三角形，
即所求m的取值范圍為$（\frac{1}{2}，1]$． （10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．