Question

（本小題滿分12分）

    已知函數(shù)f（x）＝ln（x＋a）－x2－x在x＝0處取得極值．

   （Ⅰ）求實數(shù)a的值；

   （Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）＝－x＋b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；

   （Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln<都成立．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）   a=1

（2）   ln3 -1≤b<ln2 +

（3）   略

【解析】解：(Ⅰ)  =  ，∵x=0時，f(x)取得極值，∴=0，

故 =0，解得a=1.經(jīng)檢驗a=1符合題意. ……………4分

(Ⅱ)由知，由,得

，令,

則f(x)= +b在[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于φ(x)=0在[0，2]恰有兩個不同實數(shù)根．

 ，

當(dāng)x∈(O，1)時，，于是在(O，1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1，2)時，，于是在(1，2)上單調(diào)遞減．

依題意有

 ∴l(xiāng)n3 -1≤b<ln2 +.………………………………………8分

(Ⅲ) 的定義域為{x|x> -1}，

 由(Ⅰ)知， 令=0得，x=0或x= (舍去)，

 ∴當(dāng)-1<x<0時，>0，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x>0時，<0，f(x)單調(diào)遞減.

∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值.

∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立).

對任意正整數(shù)n，取x=>0得，ln(+1)< +，

故ln()<.……………………………………12分