Question

2．若（a+b+c）（b+c-a）=3ab，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等邊三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 對(duì)（a+b+c）（b+c-a）=3bc化簡(jiǎn)整理得b²-bc+c²=a²，代入余弦定理中求得cosA，進(jìn)而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，可求$\frac{sinA}{sinB}$=2cosC，即$\frac{a}$=2$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化簡(jiǎn)可得b=c，結(jié)合A=60°，進(jìn)而可判斷三角形的形狀．

解答 解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc，
∴（b+c）²-a²=3bc，
b²+2bc+c²-a²=3bc，
b²-bc+c²=a²，
根據(jù)余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²-bc+c²=a²=b²+c²-2bccosA，
bc=2bccosA，
cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°，
又由sinA=2sinBcosC，
則$\frac{sinA}{sinB}$=2cosC，即$\frac{a}$=2$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
化簡(jiǎn)可得，b²=c²，
即b=c，
∴△ABC是等邊三角形
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．