Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁、F₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關(guān)于直線l的對稱點，設(shè)

AM

=λ

AB

．
（Ⅰ）證明：λ=1-e²；
（Ⅱ）若λ=

3

4

，△MF₁F₂的周長為6；寫出橢圓C的方程；
（Ⅲ）確定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點表示出A、B的坐標，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得到交點M的坐標，再根據(jù)

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）根據(jù)對應(yīng)坐標相等可得到

a e -c=λ a e b2 a =λa

，從而得到λ=1-e²，等證．
（Ⅱ）當λ=

3

4

時可得到e的值，進而得到a，c的關(guān)系，再由△PF₁F₂的周長為6可得到2a+2c=6，進而可求出a，c的值，從而可得到b的值，確定橢圓方程．
（Ⅲ）根據(jù)PF₁⊥l，可得到∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，進而要使得△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

1

2

|PF₁|=c成立，
然后設(shè)點F₁到l的距離為d，根據(jù)

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=c可得到

1-e2

1+e2

=e，進而可得到e的值，求出λ的值．

解答：（Ⅰ）證明：因為A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點，
所以A、B的坐標分別是（-

a

e

，0），（0，a）．
由

y=ex+a x2 a2 + y2 b2 =1

得

x=-c y= b2 a .

這里c=

a2+b2

．
所以點M的坐標是（-c，

b2

a

）．
由

AM

=λ

AB

得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a）．
即

a e -c=λ a e b2 a =λa

，解得λ=1-e²
（Ⅱ）當λ=

3

4

時，e=

1

2

，所以a=2c．
由△PF₁F2的周長為6，得2a+2c=6．
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅲ）因為PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁為鈍角，要使△PF₁F₂為等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，
即

1

2

|PF₁|=c．
設(shè)點F₁到l的距離為d，由

1

2

|PF₁|=d=

|e(-c)+0+a|

1+e2

=

|a-ec|

1+e2

=c．
得

1-e2

1+e2

=e．
所以e²=

1

3

，于是λ=1-λ=

2

3

．
即當λ=

2

3

時，△PF₁F2為等腰三角形．

點評：本題主要考查直線與x軸、y軸的交點問題、向量的線性運算、橢圓方程的求法和點到直線的距離．考查基礎(chǔ)知識的綜合運用和計算能力．直線與圓錐曲線是高考的一個重要考點，每年必考，要給予充分重視．