已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
-2x+b2x+1+a
是奇函數(shù),
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷并證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)于任意的t∈R,不等式f(mt2-2t)+f(1-t2)<0恒成立,求m的取值范圍.
分析:(1)由f(x)是R上的奇函數(shù),得f(0)=0,且f(-1)=-f(1);代入f(x)可得a、b的值;
(2)由f(x)的解析式,用單調(diào)性定義可以證明f(x)是定義域上的減函數(shù);
(3)由f(mt2-2t)+f(1-t2)<0,可得f(mt2-2t)<-f(1-t2);
由f(x)是奇函數(shù),得-f(1-t2)=f(t2-1),從而得f(mt2-2t)<f(t2-1);
由f(x)是減函數(shù),得mt2-2t<t2-1恒成立,解得m的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,且f(-1)=-f(1);
-1+b
2+a
=0,且
-
1
2
+b
1+a
=-
-2+b
4+a
;
解得a=2,b=1;
∴f(x)的解析式為f(x)=
-2x+1
2x+1+2

(2)∵f(x)=
-2x+1
2x+1+2
,
∴f(x)=-
2x-1
2(2x+1)
=
1
2x+1
-
1
2
是R上的減函數(shù);
證明如下:在R上任取x1<x2,則f(x1)-f(x2)=(
1
2x1+1
-
1
2
)-(
1
2x2+1
-
1
2
)=
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)
;
∵x1<x2,∴2x2-2x1>0,2x1+1>0,2x2+1>0,
2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1)
>0;即f(x1)>f(x2);
∴f(x)R上的減函數(shù);
(3)∵f(mt2-2t)+f(1-t2)<0恒成立,∴f(mt2-2t)<-f(1-t2);
∵f(x)是奇函數(shù),∴-f(1-t2)=f(t2-1),∴f(mt2-2t)<f(t2-1);
∴f(mt2-2t)<f(t2-1),
又∵f(x)是減函數(shù),∴mt2-2t>t2-1,
即(m-1)t2-2t+1>0恒成立,
m-1>0
4-4(m-1)<0
,解得m>2;
∴m的取值范圍是{m|m>2}.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)和應(yīng)用,以及不等式恒成立問(wèn)題,是中檔題.
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-2x+a2x+1
是奇函數(shù)
(1)求a值;
(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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