Question

已知點(diǎn)A(－2，3)，B(3，2)，過點(diǎn)P(0，－2)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍及傾斜角的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　由題中條件“直線l與線段AB有公共點(diǎn)”展開聯(lián)想：①因?yàn)橹本�l過定點(diǎn)P(0，－2)與線段AB的公共點(diǎn)在AB上，可用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，求出符合條件的所有直線的斜率；②從整體上考慮，由題中交點(diǎn)M在線段AB上的數(shù)學(xué)模型，聯(lián)想到M為的定比分點(diǎn)，考慮運(yùn)用定比分點(diǎn)的知識(shí)解決問題． 　　解法一　　如上圖所示，直線PA的斜率kPA＝＝－，直線PB的斜率kPB＝＝，當(dāng)直線l繞點(diǎn)P由PB按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與y軸的重合的位置時(shí)，直線l的斜率變化范圍是[，＋∞)，傾斜角的變化范圍是[arctan，]；當(dāng)直線l繞點(diǎn)P由y軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到PA的位置時(shí)，它的斜率的變化范圍是(－∞，－]，傾斜角的變化范圍是[，π－arctan]． 　　所以直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－]∪[，＋∞)，傾斜角的取值范圍是[arctan，π－arctan]． 　　解法二　　如上圖，設(shè)直線l與線段AB交于點(diǎn)M，則M是的內(nèi)分點(diǎn)，令＝λ＞0． 　　由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(，)． 　　又直線l過點(diǎn)P(0，－2)，故l的斜率k＝＝，整理得λ＝． 　　當(dāng)點(diǎn)M不與B點(diǎn)重合時(shí)，λ≥0，即≥0，解之得k＞或k≤－． 　　當(dāng)點(diǎn)M與B重合時(shí)，λ不存在，可直接求出kBP＝． 　　以上同解法一． 　　評(píng)析　　(1)求直線傾斜角時(shí)，一要注意傾斜角的取值范圍，二要注意與之相關(guān)的三角函數(shù)及反三角函數(shù)的有關(guān)概念． 　　(2)對(duì)于過兩定點(diǎn)的直線的傾斜角問題，一般應(yīng)先考慮斜率是否存在．這是隱含在題中的一個(gè)分類因素，很容易被忽視，應(yīng)引起重視． 　　(3)數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要思想，解題時(shí)，可根據(jù)問題的需要，借助圖形及圖形性質(zhì)直觀作出判斷，明確解題思想，既能避免繁雜冗長的計(jì)算與推理，又能考證結(jié)論是否完善．