Question

我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A，若存在數(shù)列{a_n}和實(shí)數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…anxn-1，則稱(chēng)數(shù)A可以表示成x進(jìn)制形式，簡(jiǎn)記為A=

.

x～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2～(-1)(3)(-2)(1)

，則表示A是一個(gè)2進(jìn)制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（I）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式；
（II）記bn=

.

2～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

(n∈N*)，若{a_n}是等差數(shù)列，且滿(mǎn)足a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，求b_n=9217時(shí)n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³，能將m表示成x進(jìn)制的簡(jiǎn)記形式．
（Ⅱ）由{a_n}是等差數(shù)列，即已知條件利用通項(xiàng)公式即可得出a_n，利用“錯(cuò)位相減法”即可得出b_n，進(jìn)而解出n．

解答：解：（I）由m=（1-2x）（1+3x²）=1-2x+3x²-6x³=

.

x～(1)(-2)(3)(-6)

．
（Ⅱ）∵{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，又a₁+a₂=3，a₃+a₄=7，
∴

a1+a1+d=3 2a1+5d=7

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
bn=1+2×21+3×22+…+n×2^n-1，
2bn=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
兩式相減得-b_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ
∴-bn=

2n-1

2-1

-n×2n，
∴bn=(n-1)×2n+1．
又b_n=9217，∴（n-1）×2ⁿ+1=9217，解得n=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式即新定義，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)列掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其“錯(cuò)位相減法”是解題的關(guān)鍵．