(2012•商丘三模)已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.
(Ⅰ)若a=1,求不等式的解集;
(Ⅱ)若已知不等式的解集不是空集,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)對于不等式 2|x-3|+|x-4|<2,分x≥4、3<x<4、x≤3三種情況分別求出解集,再取并集,即得所求.
(Ⅱ)化簡f(x)的解析式,求出f(x)的最小值,要使不等式的解集不是空集,2a大于f(x)的最小值,由此求得a的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)對于不等式 2|x-3|+|x-4|<2,
①若x≥4,則3x-10<2,x<4,∴舍去.
②若3<x<4,則x-2<2,∴3<x<4.
③若x≤3,則10-3x<2,∴
8
3
<x≤3.
綜上,不等式的解集為{x|
8
3
<x<4}
. …(5分)
(Ⅱ)設(shè)f(x)=2|x-3|+|x-4|,則f(x)=
3x-10 , x≥4
x-2 , 3<x<4
10-3x , x≤3
,∴f(x)≥1.
要使不等式的解集不是空集,2a大于f(x)的最小值,
故 2a>1,∴a>
1
2
,
即a的取值范圍(
1
2
,+∞).  …(10分)
點(diǎn)評:本題主要考查絕對值不等式的解法,體現(xiàn)了分類討論以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
2
2
3
,且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為6+4
2

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x-y≤1
x≥
1
2
2x+y≤4
,則x-3y的最大值為
2
2

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