Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿對(duì)角線BD將△ABD向上折起，使點(diǎn)A移至點(diǎn)P，且點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的投影O在CD上．
（1）求二面角P-DB-C的正弦值；
（2）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）過(guò)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，連接PE，由已知得∠PEO為二面角P-BD-C的平面角，由此能求出二面角P-DB-C的正弦值．
（2）設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為h．由V_C-PBD=V_P-BCD，利用等積法能求出點(diǎn)C到平面PBD的距離．

解答： 證明：（1）過(guò)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，連接PE
∵BD⊥OP，∴BD⊥平面OPE，
∴BD⊥PE，
∴∠PEO為二面角P-BD-C的平面角，
在△POE中，PE=3，OE=1，PO=2

2

，
則sin∠PEO=

2 2

3

，
∴二面角P-DB-C的正弦值為

2 2

3

．（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為h．
∵V_C-PBD=V_P-BCD，
∴

1

3

×（

1

2

×6×2

3

）×h=

1

3

×（

1

2

×6×2

3

）×2

2

，
解得h=2

2

．
即點(diǎn)C到平面PBD的距離為2

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．