設函數(shù)f(x)＝＋bx＋1(a、b為實數(shù))，F(xiàn)(x)＝

(Ⅰ)若f(－1)＝0，且對任意實數(shù)均有f(x)≥0成立，求F(x)的表達式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，當x∈[－2，2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；

(Ⅲ)若f(x)是偶函數(shù)，試判斷F(x)的奇偶性．

(Ⅳ)設mn＜0，m＋n＞0，且f(x)是偶函數(shù)，求證：F(m)＋F(n)＞0．

答案：
解析：

　　(1)∵f(－1)＝0．∴b＝a＋1

　　由f(x)≥0恒成立，知△＝－4a＝－4a＝≤0

　　∴a＝1，從而f(x)＝＋2x＋1＝

　　∴

　　(2)由(1)知，f(x)＝＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝＋(2－k)x＋1

　　由g(x)在[－2，2]上是單調函數(shù)，知：≤－2或≥2

　　∴得k≤－2或k≥6

　　(3)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，而a＞0

　　∴f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù)

　　對于F(x)，當x＞0時，－x＜0，

　　F(－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝－F(x)

　　x＜0時，－x＞0，

　　F(－x)＝f(－x)＝f(x)＝－F(x)

　　∴F(x)是奇函數(shù)，且F(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)

　　由mn＜0，知，m、n異號，

　　當m＞0，n＜0時，由m＞－n＞0知F(m)＞F(－n)＝－F(n)

　　∴F(m)＋F(n)＞0

　　當m＜0，n＞0時，由n＞－m＞0知F(n)＞F(－m)＝－F(m)

　　∴F(m)＋F(n)＞0

　　綜上知：F(m)＋F(n)＞0，


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(本題滿分12分)設函數(shù)f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0，π]上的單調遞增區(qū)間．

(2)當x∈時，－4<f(x)<4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

 

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