Question

過橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點(diǎn)F₁的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求

AO

•

AF1

的范圍；
（2）若

OA

⊥

OB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）用坐標(biāo)表示向量，再利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合配方法，即可求

AO

•

AF1

的范圍；
（2）分類討論，利用

OA

⊥

OB

，結(jié)合韋達(dá)定理，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

2

+y2=1，
∴a=

2

，b=1，c=1，
∴F₁（-1，0），…（1分）
設(shè)A（x₁，y₁），則

AO

•

AF1

=

x

2 1

+x1+

y

2 1

…（3分）
∵

x12

2

+y12=1，
∴

AO

•

AF1

=

x

2 1

+x1+

y

2 1

=

1

2

x

2 1

+x1+1=

1

2

(x1+1)2+

1

2

…（5分）
∵x1∈[-

2

，

2

]，
∴

AO

•

AF1

∈[

1

2

，

2

+2]，…（6分）
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
①當(dāng)l平行于y軸時(shí)，點(diǎn)A(-1，

2

2

)、B(-1，-

2

2

)，此時(shí)

OA

•

OB

=

1

2

≠0…（8分）
②當(dāng)l不平行于y軸時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l方程為y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0…（9分）
∴x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

…（11分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2
=(1+k2)•

2k2-2

1+2k2

-k2•

4k2

1+2k2

+k2=0
解得k²=2，
∴k=±

2

…（13分）
故所求的直線方程為y=±

2

(x+1)…（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程及其性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．