Question

13．求曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 將曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對(duì)應(yīng)的變換作用進(jìn)行化簡，作出表示的曲線所圍成的圖形即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)曲線|x|+|y|=1上（x₀，y₀）在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（x，y），
∴$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$[$\underset{\stackrel{{x}_{0}}{\;}}{{y}_{0}}$]=[$\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}$]，即x₀=x，y₀=3y，
代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，
當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，方程等價(jià)于x+3y=1；
當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，方程等價(jià)于x-3y=1；
當(dāng)x≤0，y≥0時(shí)，方程等價(jià)于-x+3y=1；
當(dāng)x≤0，y≤0時(shí)，方程等價(jià)于-x-3y=1，
其圖象為菱形ABCD，
則曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積為$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了幾種特殊的矩形變換，確定出變換后的曲線方程是解本題的關(guān)鍵．