Question

閱讀下面所給材料：已知數(shù)列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n-1+2，求數(shù)列的通項(xiàng)a_n．
解：令a_n=a_n-1=x，則有x=3x+2，所以x=-1，故原遞推式a_n=3a_n-1+2可轉(zhuǎn)化為：
a_n+1=3（a_n-1+1），因此數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為a₁+1，公比為3的等比數(shù)列．
根據(jù)上述材料所給出提示，解答下列問題：
已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n-1+4，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；并用解析幾何中的有關(guān)思想方法來解釋其原理；
（2）若記S_n=

n

k=1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

，求

lim

n→∞

S_n；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+1=100b_n³，利用所學(xué)過的知識(shí)，把問題轉(zhuǎn)化為可以用閱讀材料的提示，求出解數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知材料可令a_n=a_n-1=x，則有x=3x+4，可得x=-2，故原遞推式a_n=3a_n-1+4可轉(zhuǎn)化為：
a_n+2=3（a_n-1+2），因此數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列可求a_n，對(duì)于a_n=3a_n-1+4，可以看成把直線y=3x+4的方程改寫成點(diǎn)斜式方程．
（2）令d_k=

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=（

1

lg3

）²（

1

k

-

1

k+1

）．利用裂項(xiàng)求和可得S_n=

n

k=1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=（

1

lg3

）²[1-

1

n+1

]，然后求極限．
（3）數(shù)列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+i=100b_n³，所以b_n＞0，lgb_n+i=lg（100b_n³）
令c_n=lgb_n，則c_n+1=3c_n+2，從而可求c_n，進(jìn)一步可求b_n

解答：解：（1）令a_n=a_n-1=x，則有x=3x+4，所以x=-2，故原遞推式a_n=3a_n-1+4可轉(zhuǎn)化為：
a_n+2=3（a_n-1+2），因此數(shù)列{a_n+2}是首項(xiàng)為a₁+2，公比為3的等比數(shù)列．
所以a_n+2=（a₁+2）×3^n-1，所以a_n=3ⁿ-2；
對(duì)于a_n=3a_n-1+4，可以看成把直線y=3x+4的方程改寫成點(diǎn)斜式方程，
該點(diǎn)就是它與直線y=x的交點(diǎn)．
（2）令d_k=

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=

1

lg3klg3k+1

=（

1

lg3

）²

1

k(k+1)

=（

1

lg3

）²（

1

k

-

1

k+1

）
S_n=

n

k=1

1

lg(ak+2)lg(ak+1+2)

=d₁+d₂+…+d_n
=（

1

lg3

）²[（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）++（

1

n

-

1

n+1

）]
=（

1

lg3

）²[1-

1

n+1

]

lim

n→∞

S_n=（

1

lg3

）²
（3）數(shù)列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+i=100b_n³，所以b_n＞0，lgb_n+i=lg（100b_n³）
令c_n=lgb_n，則c_n+1=3c_n+2，
所以c_n+2=3（c_n-1+2），因此數(shù)列{c_n+2}是首項(xiàng)為c₁+2，公比為3的等比數(shù)列．
所以c_n+2=（c₁+2）×3^n-1，所以c_n=3ⁿ-2，
lgb_n=c_n=3ⁿ-2；b_n=103n-2

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，主要考查了由形如a_n+1=pa_n+q型的數(shù)列的遞推公式，利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是要靈活利用構(gòu)造轉(zhuǎn)化的方法，考查了裂項(xiàng)求和的方法求解數(shù)列的和，注意裂項(xiàng)相消后余留下的項(xiàng)是考生容易出現(xiàn)問題的地方．