已知平行四邊形ABCD(圖1)中,AB=4,BC=5,對角線AC=3,將三角形ACD沿AC折起至PAC位置(圖2),使二面角為600,G,H分別是PA,PC的中點.
(1)求證:PC平面BGH;
(2)求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.
(1)詳見解析;(2)平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.
【解析】
試題分析:(1)求證: 平面,證明線面垂直,只需證明線和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可,由于是的中位線,,所以,由已知,對角線,得,從而可得,即,即,只需再找一條垂線即可,
若問題得證,要證,只要即可,由已知二面角為600,可找二面角的平面角,故過C作且,連,則,這樣可證得,從而得證;(2)求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值,求二面角的大小,可采用向量法來求,以CE的中點O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意可得各點的坐標(biāo),分別找出兩個平面的法向量,即可求出平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.
試題解析:(1)證明:過C作且,連BE,PE
,
四邊形是矩形,,
平面PEC,
是正三角形
平面PEC
=5=BC,
而H是PC的中點,,是的中位線,,
,平面BGH.
(2)以CE的中點O為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,
,,
先求平面PAB的法向量為,而平面BGH的法向量為,
設(shè)平面PAB與平面BGH的夾角為,則.
考點:直線與平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
OA |
a |
OB |
b |
OC |
c |
OH |
h |
a |
b |
c |
h |
AH |
BC |
h |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(1)如圖,求證:DE是⊙O的切線;
(2)連結(jié)OE、AE,當(dāng)∠CAB為何值時,四邊形AOED是平行四邊形,并在此條件下求sin∠CAE的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年遼寧省沈陽二中高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(必修4)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年廣東省肇慶市南豐中學(xué)高三(上)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷C (必修4)(解析版) 題型:解答題
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